宝宝喝奶呛到一直咳嗽的处理方式包括：改变姿势、清洁口腔、拍背、密切观察以及家庭急救等。
一、改变姿势：让宝宝仰卧，且头朝向一侧，这样可以避免呕吐物因重力作用倒流到喉咙和气管，从而防止引发进一步咳嗽甚至窒息的情况。
二、清洁口腔：可以把干净的手指伸进宝宝口腔内，快速清理其中的呕吐物，以保持呼吸道的畅通。
三、轻拍背部：当宝宝咳嗽时，轻轻拍打其背部，有助于将气管中的牛奶排出。但要注意，在宝宝剧烈咳嗽时不能进行拍背操作。
四、密切观察和家庭急救：如果宝宝咳不出来，没有声音且脸色发青，那可能是出现了完全窒息，有危及生命的风险。此时应立即采用海姆立克急救方法，直到窒息状况得到缓解。宝宝的海姆立克急救方法与成人的有所不同，可以用两个手指来实施。每一位父母都应该在关键时候掌握好这项救生技能。
总之，当宝宝喝奶呛到一直咳嗽时，家长要及时采取合适的措施进行处理，同时在进行家庭救援时应尽快拨打120急救电话，为医院急救做好准备。