四十多天的宝宝咳嗽的治疗方式包括药物治疗和日常护理。具体如下：
一、药物治疗：
1.雾化吸入：对于四十多天的宝宝，可采用雾化吸入的方式来治疗。通过仪器将药物雾化后让宝宝吸入呼吸道内，通常能缓解咳嗽症状。常用药物如硫酸沙丁胺醇雾化吸入溶液、硫酸特布他林雾化液等。
2.口服药物：若雾化吸入效果不明显，可在医生指导下给宝宝服用化痰止咳类药物。例如小儿化痰止咳颗粒、小儿清热止咳口服液等，能较快缓解咳嗽情况。
二、日常护理：
1.补充水分：宝宝咳嗽时可少量多次喝温水，补充足够水分来缓解咳嗽症状。
2.拍背辅助：当宝宝咳嗽时，可用手轻拍宝宝背部，促使其咳出粘附在气管上的分泌物，进而缓解咳嗽。
总之，四十多天的宝宝咳嗽需要综合采用药物治疗和日常护理的方法来改善，同时要密切观察宝宝情况，如有异常应及时就医。