三个月宝宝咳嗽，可能是普通感冒、呼吸道感染、过敏等原因引起的。可以通过以下方式进行处理，建议及时就医：
1.保持空气湿润：可以使用加湿器增加空气湿度，缓解咳嗽。
2.调整体位：将宝宝竖着抱起或侧卧，有助于痰液咳出。
3.拍背：五指稍屈，握成空手拳，轻轻地拍打宝宝前胸及侧胸背部，两侧交替进行，拍背力量不宜过大，由上而下，从外向内，依次进行。每侧拍3~5分钟，每天拍2~3次。
4.补充水分：咳嗽会使身体丢失大量水分，要及时补充水分，让宝宝多喝温水。
5.就医治疗：如果咳嗽持续时间较长、咳嗽频繁、有痰、呼吸急促、发热等症状，可能是呼吸道感染或其他疾病引起的，需要及时就医，在医生的指导下进行治疗。
在治疗期间，需要注意宝宝的饮食，以清淡、易消化的食物为主，如米汤、米糊、面条等。避免食用辛辣、油腻、刺激性食物，如辣椒、油炸食品等。同时，要注意保持宝宝的口腔清洁，及时清理口腔分泌物。