3个月婴儿打完疫苗后嗜睡，通常不需要将其叫醒。
接种疫苗后，部分婴儿可能会出现一些不良反应，其中包括嗜睡。这是因为疫苗中的成分可能会对婴儿的身体产生轻微的刺激，引起身体的应激反应。通常，这种嗜睡症状会在接种后的1-2天内自行缓解，不需要特殊处理。
然而，如果婴儿出现以下情况，需要及时就医或咨询医生的建议：
嗜睡症状持续时间过长：如果婴儿打完疫苗后一直嗜睡，超过2-3天仍未缓解，或者出现了其他异常症状，如发热、呕吐、腹泻、咳嗽等，应及时就医。
嗜睡程度较深：如果婴儿嗜睡程度较深，难以唤醒，或者叫醒后反应迟钝、精神萎靡，也需要及时就医。
伴有其他不适：如果婴儿嗜睡的同时，伴有呼吸急促、呼吸困难、皮肤苍白、口唇发紫等不适症状，应立即就医。
在婴儿接种疫苗后，家长可以采取以下措施来观察和照顾婴儿：
让婴儿多休息：接种疫苗后，婴儿可能会感到疲倦，家长可以让其多休息，避免过度活动。
保持观察：密切观察婴儿的身体状况，包括精神状态、食欲、睡眠等，以及是否出现其他异常症状。
适当补充水分：如果婴儿出现发热等症状，可适当补充水分，以防止脱水。
避免感染：接种疫苗后，婴儿的免疫力可能会暂时下降，家长应注意保持婴儿的清洁卫生，避免感染。
需要注意的是，每个婴儿对疫苗的反应可能不同，如果家长对婴儿的嗜睡症状有任何疑虑或担忧，最好咨询医生的意见。医生会根据婴儿的具体情况进行评估，并提供相应的建议和处理措施。