孩子手背被蚊子叮咬后又红又肿，可采取以下措施：
1.冷敷：用冰袋或冷毛巾敷在叮咬处，每次15-20分钟，每天数次，可以缓解红肿和瘙痒。
2.涂抹药物：可以涂抹炉甘石洗剂、薄荷膏等止痒药物，也可以使用含有氢化可的松的药膏，但使用时间不宜过长。
3.避免搔抓：孩子可能会因为瘙痒而搔抓叮咬处，容易导致皮肤破损，引发感染。家长可以给孩子剪短指甲，或在叮咬处涂抹炉甘石洗剂等，以减轻瘙痒感。
4.清洁皮肤：保持叮咬处的清洁，避免感染。可以用温水和温和的肥皂清洗，但不要用力擦拭。
5.远离过敏原：避免孩子再次接触蚊子，可使用蚊帐、蚊香等防蚊措施。
6.观察症状：如果孩子的红肿和瘙痒症状持续加重，或出现发热、疼痛等不适，应及时就医。
需要注意的是，以上方法仅供参考，如果孩子症状严重或持续不缓解，建议及时就医。同时，家长应该注意孩子的皮肤护理，避免蚊虫叮咬，保持皮肤清洁和干燥。