小孩的老师晚上12点左右咳嗽，已经持续半年，可能由以下原因引起：
1.咳嗽变异性哮喘：咳嗽是其唯一或主要临床表现，无明显喘息、气促等症状，但存在气道高反应性。常于夜间或凌晨发作或加重，可自行缓解或经治疗后缓解。可通过肺功能、支气管舒张试验等检查明确诊断。治疗上主要使用糖皮质激素、支气管舒张剂等。
2.上气道咳嗽综合征：除咳嗽外，可能伴有鼻塞、流涕、打喷嚏、清嗓等症状。多与鼻部疾病有关，如鼻炎、鼻窦炎等。可通过鼻内镜、鼻窦CT等检查明确诊断。治疗上主要针对鼻部疾病进行治疗，如使用鼻用糖皮质激素、抗组胺药等。
3.胃食管反流病：胃酸反流可刺激食管和气道，导致咳嗽。常伴有烧心、反酸、嗳气等症状。可通过胃镜、食管pH监测等检查明确诊断。治疗上主要使用抑酸药、促胃肠动力药等。
4.其他：如感染后咳嗽、变应性咳嗽、嗜酸性粒细胞性支气管炎等也可能导致长期咳嗽。
建议带老师及时就医，进行相关检查，明确病因，以便进行针对性治疗。同时，应注意休息，避免劳累和受凉，避免接触过敏原，避免食用辛辣、刺激性食物等。