孩子脚指甲出现灰色竖纹，可能是以下原因引起：
1.甲癣：由皮肤癣菌感染甲板所致。如果孩子经常与灰指甲患者共用拖鞋、毛巾等物品，可能会感染甲癣，导致指甲出现灰色竖纹、增厚、易碎等症状。可以在医生的指导下使用特比萘芬乳膏、酮康唑乳膏等药物进行治疗。
2.营养不良：如果孩子长期挑食、偏食，可能会导致体内缺乏维生素、微量元素等营养物质，从而影响指甲的正常生长，出现灰色竖纹、凹陷、变形等症状。可以在医生的指导下服用多维元素片、葡萄糖酸钙锌口服溶液等药物进行治疗。
3.外伤：如果孩子的脚趾甲受到挤压、碰撞等外伤，可能会导致甲板下出血，从而出现灰色竖纹。一般不需要特殊处理，随着指甲的生长，竖纹会逐渐消失。
4.其他：孩子脚指甲出现灰色竖纹，还可能与扁平苔藓、银屑病等疾病有关。
如果孩子的脚指甲出现灰色竖纹，建议及时就医，明确病因，并在医生的指导下进行治疗。同时，要注意保持孩子的脚部清洁卫生，避免与他人共用拖鞋、毛巾等物品。