手上和脚上出现红点，并伴有头晕，可能与以下原因有关。
1.感染：手上和脚上出现红点，可能是感染引起的，如手足口病、猩红热等。手足口病多发生于儿童，除了手上、脚上有红点外，口腔内也可能有疱疹，伴有发热、咽痛等症状；猩红热是由A组β型链球菌引起的急性呼吸道传染病，以发热、咽峡炎、全身弥漫性猩红色皮疹和疹退后皮肤脱屑为特征，少数患者可出现变态反应性心、肾、关节的损害。
2.过敏：如果接触了某些过敏原，如花粉、动物毛发、某些食物等，可能会引起过敏反应，导致手上和脚上出现红点，并伴有头晕、恶心、呕吐等症状。
3.血液系统疾病：某些血液系统疾病，如血小板减少性紫癜、过敏性紫癜等，也可能导致手上和脚上出现红点，并伴有头晕等症状。
4.其他：自身免疫性疾病、药物过敏、感染性疾病等也可能出现类似症状。
如果手上和脚上出现红点，并伴有头晕，建议及时就医，进行相关检查，如血常规、过敏原检测、自身抗体检测等，以明确病因，并进行针对性治疗。同时，要注意休息，避免劳累和感染，避免接触过敏原，保持皮肤清洁。