嗓子干痒咳嗽时，应根据医院科室设置选择合适的科室进行检查。主要可选择呼吸内科、耳鼻喉科、五官科、变态反应科等。
一、呼吸内科：嗓子干痒、咳嗽可能是由急慢性扁桃体炎、急慢性咽喉炎、感冒等上呼吸道感染疾病所导致，这些疾病在呼吸内科的诊疗范围内。一般的综合医院都设有呼吸内科，患者可前往该科室挂号。通过做血常规等相关检查，来明确具体病情。比如，若是细菌感染引起，血常规中白细胞等可能会升高；若是病毒感染，可能会有相应的病毒学指标异常。
二、耳鼻喉科：不同医院的科室设置有差异，有些医院专门设有耳鼻喉科，用于检查和治疗耳、鼻、咽喉等部位的病变。所以当出现嗓子干痒、咳嗽时，也可以选择挂耳鼻喉科就诊。在该科室，医生会通过喉镜等检查设备，对咽喉部进行详细查看，以确定是否存在咽喉部的炎症、息肉等问题。
三、五官科：部分医院设有五官科，其主要负责检查和治疗耳、鼻、喉、眼、口腔等五官的病变。嗓子干痒、咳嗽的患者在这样的医院就诊时，也可到五官科挂号。医生可能会结合多种检查手段，对五官的相关情况进行综合评估。
四、变态反应科：对于体质敏感者，当受到冷空气、花粉等过敏原刺激时，可能会引发过敏性咽喉炎、咳嗽变异性哮喘等疾病，从而出现嗓子干痒、咳嗽等症状。若想要检查过敏原，就可以前往医院的变态反应科挂号就诊。在该科室，医生会通过特定的检测方法，如皮肤点刺试验、血清特异性抗体检测等，来确定过敏原。
总之，当出现嗓子干痒咳嗽时，要根据具体情况选择合适的科室，以便能准确诊断病情并进行有效的治疗。