小孩咳嗽持续一星期未愈，应依据其有无其他相关症状来判断处理方式。如果孩子仅有轻微咳嗽而无其他不适，可先暂时观察；但要是孩子在咳嗽同时伴有发热、气促等不良症状，就需及时就医以明确诊断，并遵医嘱进行相应治疗。
一、持续观察
通常而言，孩子感冒后咳嗽的痊愈需要一定时间。小孩咳嗽一星期时，如果咳嗽症状逐渐减轻，且孩子精神状态良好、食欲正常，也没有其他不适表现，一般不必过度担忧，可继续予以观察。在日常生活中，要适时地为小孩增减衣物，让其多喝白开水，及时调控室内的干湿度，饮食上建议清淡，以补充小孩身体所需营养。
二、及时就医
当小孩咳嗽一星期仍未好，同时还出现咳痰、发热或气促等不适症状时，需考虑可能是病情加重了，此时应尽快就医。要遵医嘱进行血常规、胸部X线等检查，明确诊断后遵医嘱给予抗生素、化痰、止咳等药物进行治疗。常用的药物包括阿奇霉素、红霉素、盐酸氨溴索口服液、小儿止咳糖浆等。一定要严格按照医嘱用药，不可盲目自行用药。同时要让孩子多注意休息、多喝水，避免食用辛辣、油腻、刺激性食物，以免对感冒恢复造成不利影响。
总之，对于小孩咳嗽一星期未愈的情况，要根据具体表现来选择合适的处理方法，密切关注孩子的状态，必要时及时就医治疗。