宝宝喝奶呛到一直咳嗽的处理方式包括：改变姿势、清洁口腔、拍背、密切观察以及进行家庭急救。
一、改变姿势
宝宝呛奶后可让其仰卧，头朝一侧，这样能避免呕吐物因重力作用倒流到喉咙和气管，防止引发进一步咳嗽甚至窒息。
二、清洁口腔
可以把干净的手指伸进宝宝口腔，快速清理呕吐物，以保持呼吸道的通畅。
三、拍背
当宝宝咳嗽时可轻轻拍打其背部，有助于将气管中的奶液排出。但要注意，在宝宝剧烈咳嗽时不要拍背。
四、密切观察与家庭急救
要是宝宝咳不出且没有声音、脸色发青，可能出现了完全窒息的危险情况，会危及生命。此时应立刻使用海姆立克急救法，直到窒息情况缓解。宝宝的海姆立克急救法与成人不同，可以用两个手指来操作。每一位父母都应该在关键时刻掌握这项救生技能。同时建议在进行上述家庭救援时，家长要及时拨打120急救电话，为医院急救做好准备。
总之，当宝宝喝奶呛到一直咳嗽时，家长需要采取一系列正确有效的措施进行处理，密切关注宝宝的状态，必要时及时寻求专业急救帮助，以保障宝宝的生命安全。