小儿咳嗽持续一个月不好应去上级医院检查。以下是具体情况：
一、上呼吸道感染引起的小儿咳嗽，通常10至15天左右可逐渐恢复，一些急性炎症如急性咽喉炎，治疗15至20天左右也会逐渐恢复，若持续一个月不好，可能是慢性炎症或未对症治疗，需做进一步检查，如肺CT、痰液培养、血常规、查体等以明确病因。
1.肺CT检查：能清晰显示肺部的结构和病变情况。
2.痰液培养：有助于确定感染的病原菌类型。
3.血常规：可反映身体的炎症状态等。
二、小儿咳嗽持续一个月不好常见于以下疾病：
1.慢性支气管炎：典型症状是早上咳嗽明显，部分患儿夜间有咳嗽，躺下变动姿势时咳嗽明显。在急性感染期，可采用以下治疗方式。
(1)使用敏感型抗生素药物足疗程治疗。
(2)使用化痰药物改善咳痰困难，如氨溴索。
(3)咳嗽严重时可用镇咳药物，如右美沙芬。
(4)必要时可联合雾化治疗，如布地奈德、干扰素、沙丁胺醇等。
2.过敏：表现为刺激性咳嗽、咽喉痒、无痰或少痰，在某一季节或接触特定物质后症状加重，可在医生指导下使用抗过敏药物治疗，如氯雷他定。
3.免疫力低下：会导致反复呼吸道感染，引起慢性炎症难以彻底恢复，需做好护理，如室内常通风、出门佩戴口罩、注意个人卫生、加强锻炼等，同时在医生指导下使用提高免疫力的药物，如匹多莫德。
总之，小儿咳嗽持续一个月不好的原因多样，要通过详细检查明确病因后采取针对性的治疗措施。