一般而言，呕吐且眼睛周围出现红点可能是由以下因素导致：毛细血管破裂、荨麻疹、甲型病毒性肝炎。以下是具体分析：
一、毛细血管破裂：呕吐时腹压会增大，这可能致使眼部周围毛细血管压力升高，从而出现眼睛周围红点的现象。这种情况不必过度惊慌，患者可进行局部冷敷，并充分休息，通常能有效缓解此症状。
二、荨麻疹：荨麻疹可能会侵害患者肠胃功能，引发呕吐，同时也可能导致眼睛周围出现红点。患者可在医生指导下使用以下药物进行治疗：
1.复方雷尼替丁片：具有抑制胃酸分泌等作用。
2.溴丙胺太林片：可缓解胃肠痉挛等。
3.消旋山莨菪碱片：能松弛平滑肌等。
三、甲型病毒性肝炎：当患者被甲型肝炎病毒感染后，肝脏易受损，可能出现呕吐以及眼睛周围红点，还可能伴有眼睛红肿等情况。患者可在医生指导下服用如下药物来缓解不适：
1.复方甘草酸苷片：有抗炎等功效。
2.茵栀黄胶囊：能起到清热解毒等作用。
3.多烯磷脂酰胆碱胶囊：可改善肝功能等。
总之，当出现呕吐且眼睛周围有红点时，需结合具体症状和相关检查来明确原因，并在医生的指导下选择合适的方法进行处理。