3个月的宝宝出现咳嗽呕吐，其引发原因可能是呛奶、上呼吸道感染、胃食管反流等，需依据具体原因采取针对性处理办法。
一、呛奶：若喂奶时姿势不当，比如躺着喂奶，或是奶瓶不合适，如奶嘴孔过大等，就可能发生呛奶情况，从而导致咳嗽，当咳嗽较为剧烈时便会引发呕吐。这时应该及时调整宝宝体位，比如让宝宝侧卧或俯卧，轻拍其后背，促使反流物顺利排出。
二、上呼吸道感染：宝宝的咳嗽反射可能尚未完全成熟，像感冒或者喉咙炎等，常常会引起咳嗽，并且刺激宝宝的咳嗽反射。同时，这些感染还可能导致宝宝食欲不振，进而出现吐奶现象。此外，还可能伴有发热、流鼻涕等症状。此时可在医生指导下使用药物进行治疗，比如磷酸奥司他韦颗粒、头孢克肟干混悬剂、阿莫西林颗粒等。
三、胃食管反流：胃食管反流指的是胃酸或消化物反流到食管中，对食管和咽喉形成刺激从而引起咳嗽。部分宝宝可能会在喂奶后出现咳嗽和吐奶的情况。如果出现胃食管反流，可采取少量多次喂养的方式，或者在医生指导下使用保和丸、硫糖铝混悬凝胶、复方胃蛋白酶散等药物进行治疗。
除此之外，还有可能是肺部感染、哮喘、支气管炎等原因致使的，需要前往医院就诊检查以明确病因。
总之，3个月宝宝出现咳嗽呕吐可能由多种原因引起，要仔细观察并结合具体症状来判断，必要时寻求专业医生的帮助，以便准确诊断和合理治疗。