发烧在医学上称为发热，当小孩子发热后咳嗽不停时可通过以下方式处理：
一、饮食调理：小孩子发热后咳嗽不停，这在多数情况下与咽喉受炎症刺激有关，易导致咽喉肿痛、痰多等症状。此时应食用一些具有止咳化痰作用的食物，如梨，其味甘微酸、性凉，具有润肺清热、消痰降火等功效，能缓解咳嗽症状；枇杷，其含有苦杏仁甙，能够润肺止咳、祛痰，对改善相关症状有一定帮助。
二、退热治疗：
1.若体温超过38.5℃，可在医生指导下应用退热类药物，比如布洛芬颗粒，其能通过抑制前列腺素的合成而发挥解热镇痛作用，有助于体温下降；对乙酰氨基酚片，有解热镇痛的效果。
2.若体温不超过38.5℃，则可采取用温水擦身体的方法进行降温，比如擦拭颈部、腋窝、腹股沟等大血管走行的部位。
三、止咳治疗：小孩子发热后咳嗽不停，可能与气管炎、支气管炎以及肺炎有一定关联。可在医生指导下使用止咳化痰类药物，如止咳枇杷糖浆，其具有清肺、止咳、化痰的功效，能改善咳嗽症状；小儿化痰止咳颗粒，可祛痰镇咳。若上述症状与细菌感染有关，可在医生指导下使用盐酸环丙沙星胶囊、头孢拉定胶囊等药物。同时还应多饮水，以防水分消耗过大而导致电解质紊乱。
总之，当小孩子出现发热后咳嗽不停的情况时，可根据具体情况采取相应的措施来缓解症状。但需注意的是，用药应在医生指导下进行，以确保治疗的安全性和有效性。