大拇指脚趾头旁边疼红肿的原因和解决方法主要有以下几点：
1.甲沟炎：甲沟及其周围组织的感染，多因微小刺伤、挫伤、倒刺（逆剥）或剪指甲过深等损伤而引起，致病菌多为金黄色葡萄球菌。初起时，指甲一侧的皮下组织发生红、肿、痛，有的可自行消退，有的却迅速化脓。脓液自甲沟一侧蔓延到甲根部的皮下及对侧甲沟，形成半环形脓肿。处理方法包括热敷、理疗、外敷药物等，如已有脓液形成，可在甲沟处作纵形切开引流。感染已累及指甲基部皮下周围时，可在两侧甲沟各作纵行切口，将甲根上皮片翻起，切除指甲根部，置一小片凡士林纱布或乳胶片引流。如甲床下已积脓，应将指甲拔去，或将脓腔上的指甲剪去。拔甲时，应注意避免损伤甲床，以免日后新生指甲发生畸形。
2.痛风：痛风是由于血尿酸水平过高导致尿酸结晶沉积在关节内而引发的一种疾病，沉积的结晶会导致关节内和关节周围出现疼痛性炎症发作。大拇指脚趾头旁边的关节是痛风最常侵犯的部位之一。急性痛风性关节炎多在夜间突然发病，受累关节剧痛，首发关节常累及第一跖趾关节，其次为踝、膝等。关节红、肿、热、痛，活动受限，大关节腔亦可有渗出，显有发热、头痛等症状。首次发作多侵犯单关节，部分以上发生在第一跖趾关节，在以后的病程中，部分患者累及该部位。其次为足背、足跟、踝、膝、腕、肘及手指和趾关节。关节症状此起彼伏，可逐渐加重。处理方法包括一般治疗和药物治疗。一般治疗包括控制饮食、避免饮酒和高嘌呤食物（如动物内脏、海鲜等）的摄入，以及大量饮水。药物治疗包括使用非甾体抗炎药、秋水仙碱、糖皮质激素等缓解疼痛和炎症。
3.感染：外伤后感染、足癣等感染也可引起大拇指脚趾头旁边疼红肿。处理方法包括保持伤口清洁、使用抗生素等。
4.其他：类风湿关节炎、腱鞘炎等也可引起类似症状。
如果大拇指脚趾头旁边疼红肿持续不缓解或加重，建议及时就医，明确诊断后进行相应的治疗。