一般不会，但不能完全排除怀孕的可能。
月经刚完第一天属于安全期，但安全期并非绝对安全，因为女性的排卵日期可能会受到情绪、环境等因素的影响而发生改变。如果女性的月经周期不规律，或者月经周期较短，月经刚完第一天也可能已经开始排卵，此时同房就有可能怀孕。此外，精子在女性体内可能存活3-5天，即使月经刚结束时没有排卵，精子也可能在等待卵子的过程中使女性受孕。
因此，虽然月经刚完第一天同房怀孕的几率较低，但仍有可能怀孕。如果没有怀孕的计划，建议在同房时采取有效的避孕措施，如使用避孕套、口服避孕药等。同时，也要注意个人卫生，避免感染妇科疾病。如果出现月经推迟、恶心、呕吐等症状，应及时进行验孕检查，以确定是否怀孕。