四个半月的宝宝咳嗽挺严重，可能由多种原因引起，以下是一些建议：
1.保持空气湿润：使用加湿器增加空气湿度，有助于缓解咳嗽。
2.补充水分：让宝宝多喝水，有助于稀释痰液，减轻咳嗽。
3.拍背排痰：空心掌轻轻拍打宝宝背部，有助于痰液咳出。
4.就医检查：如果咳嗽严重或持续时间较长，建议及时就医，医生可能会进行进一步检查，如听诊、血常规等，以确定咳嗽的原因，并给予相应的治疗。
在就医过程中，医生可能会根据宝宝的具体情况采取以下措施：
1.药物治疗：医生可能会开具一些止咳药、祛痰药等，以缓解咳嗽症状。
2.雾化治疗：对于咳嗽严重的宝宝，雾化治疗可能会被推荐，通过雾化吸入药物来减轻咳嗽和炎症。
3.病因治疗：如果咳嗽是由感染引起的，医生可能会开具抗生素等药物进行治疗。
需要注意的是，宝宝的咳嗽情况可能会在几天内逐渐改善，但如果出现呼吸急促、喘息、发热等症状加重的情况，应及时就医。同时，在宝宝咳嗽期间，应密切观察其情况，确保其充足的休息和营养摄入。如果对宝宝的咳嗽情况有任何疑虑，最好咨询医生的意见。