孩子眼下发青紫可能是外伤、剧烈哭闹、过敏、血液系统疾病等原因所致，可以通过冷敷、压迫止血、远离过敏原、药物治疗、手术治疗等方式进行治疗，建议及时就医。具体分析如下：
1.外伤：孩子眼部受到撞击或挤压，可能导致皮下血管破裂，引起淤血，出现眼下发青紫的情况。
2.剧烈哭闹：孩子长时间剧烈哭闹，可能导致面部毛细血管压力增加，引起破裂出血，出现眼下发青紫的情况。
3.过敏：孩子眼部皮肤接触过敏原后，可能引起过敏反应，导致血管扩张、通透性增加，出现眼下发青紫的情况。
4.血液系统疾病：如血小板减少性紫癜、血友病等，可能导致凝血功能障碍，引起皮肤黏膜出血，出现眼下发青紫的情况。
孩子在治疗期间需要注意保持眼部皮肤清洁，避免摩擦、搔抓，可适当食用富含维生素C、E的食物，如橙子、猕猴桃、草莓等，避免食用辛辣、刺激性食物，如辣椒、花椒、大蒜等。