孩子手背被蚊子叮咬后出现手指、手背、手腕和胳膊肿胀，可能是虫咬性皮炎的表现。以下是一些处理建议：
1.清洗伤口：使用肥皂水或清水清洗叮咬部位，以去除残留的毒液。
2.冷敷：用冰袋或冷毛巾敷在肿胀处，每次15-20分钟，每天数次，有助于减轻肿胀和疼痛。
3.避免搔抓：搔抓可能会导致皮肤破损，增加感染的风险，还可能使肿胀加重。
4.涂抹药物：可以局部涂抹炉甘石洗剂、糖皮质激素软膏（如糠酸莫米松乳膏）等，以缓解瘙痒和炎症。
5.口服药物：如果孩子瘙痒明显或肿胀严重，可以口服抗组胺药物（如氯雷他定、西替利嗪）来缓解症状。
6.观察病情：密切观察孩子的症状变化，如果肿胀持续加重、出现发热、疼痛加剧、呼吸急促等异常情况，应及时就医。
7.就医建议：一般情况下，经过上述处理后，症状会逐渐缓解。但如果孩子的症状持续不缓解或出现加重，或者孩子本身有过敏史，建议及时就医，医生可能会根据具体情况给予进一步的治疗，如使用抗生素、抗组胺药等。
需要注意的是，以上建议仅供参考。在处理孩子的症状时，如果家长无法确定具体情况或对孩子的病情感到担忧，最好咨询医生的意见。同时，在日常生活中，要注意防蚊措施，避免孩子被蚊虫叮咬。