眼睛周围起红疹子可能是由麦粒肿、毛囊炎、过敏等原因引起。具体如下：
一、麦粒肿：
1.原因：腺体排泄通道堵塞，使得腺体内液体不能正常排出，腺体管内分泌物积聚，管壁出现渗出性炎症改变，进而导致眼睛周围起红疹子。
2.治疗：初期可采取热敷，同时可选用抗生素眼药，如氧氟沙星眼膏、左氧氟沙星眼膏等进行治疗。
二、毛囊炎：
1.原因：若发生在眼睛周围，会使患者眼睛周围起红疹子，还会伴有烧灼、瘙痒、疼痛等症状。
2.治疗：可使用红霉素眼膏、夫西地酸乳膏等药物。
三、过敏：
1.原因：患者眼睛周围涂抹眼霜、贴眼贴或者滴眼药浸湿皮肤而引起过敏，会使眼周出现较多红疹子。
2.治疗：患者需服用抗过敏药物，如氯雷他定、依巴斯汀等进行治疗。
总之，当发现眼睛周围起红疹子时，要根据具体情况判断原因，并采取相应的治疗措施。如果情况严重或持续不缓解，应及时就医。