孩子在睡觉后半夜3-5点出现咳嗽的原因较多，主要可分为病理性因素和外界环境因素。处理方式需根据具体情况而定，建议明确原因后再进行处理，切勿盲目自行处理。
一、病理性因素
1.呼吸道感染：孩子若发生呼吸道致病菌感染，会刺激咽喉部，从而导致后半夜3-5点咳嗽。如果咳嗽持续时间较长或伴有其他症状，如发热等。此时最好前往医院，完善血常规、C反应蛋白、胸部X线片等检查，以明确病因后开展抗感染治疗。若为细菌感染，可使用青霉素、头孢克肟钠等药物；若为支原体感染，可使用阿奇霉素等药物。同时要注意适当用空心掌给孩子拍背，必要时可遵医嘱使用止咳化痰药物，如氨溴索口服液或者小儿肺咳颗粒等。
2.过敏：倘若孩子长时间仅在后半夜3-5点咳嗽，且无其他不适，普通实验室检查也无明显异常。则要考虑尘螨过敏的可能，应到医院完善过敏原检查，在避免接触过敏原的同时，遵医嘱使用抗过敏药物，如西替利嗪或者氯雷他定等。并且要注意及时清扫室内卫生。
二、外界环境因素
如果孩子在后半夜3-5点咳嗽的次数不多，且白天无其他异常，可考虑是由外界因素引起的咳嗽，比如后半夜室内灰尘沉积导致孩子呼吸道不适，或者室内温度升高也会引发孩子咳嗽。这就需要保证室内温湿度适宜，并及时给孩子房间通风。
若孩子后半夜咳嗽时间较长或伴有其他症状，务必及时到专业医院就诊。
总之，孩子后半夜咳嗽的原因多样，要仔细甄别，采取合适的应对措施，以保障孩子的健康。