三个月婴儿出现咳嗽时，可通过多饮水、拍打、改善室内环境等办法来止咳。若咳嗽症状未缓解，则应及时就医，在医生指导下服用药物止咳。具体如下：
一、非药物治疗：
1.多饮水：要适当给婴儿饮用温开水，因为饮用温开水能够缓解婴儿咽部不适，有利于痰液稀释与排出，从而达到止咳目的。
2.拍打促咳：可以采用轻轻拍打后背的方式，增强婴儿咳嗽反射，促进痰液排出。拍打后背时，先将婴儿轻轻抱起，让婴儿头部靠在肩膀，一手扶着婴儿的腰部，另一手呈环状，从下往上轻轻拍打婴儿后背。
3.改善室内环境：当三个月婴儿咳嗽时，要注意环境的温度和湿度，避免空气过于干热，因为这容易导致婴儿咳嗽反复加重。若空气过于干热可放置加湿器，使空气湿度保持在50%至65%，这样能缓解婴儿咳嗽。
二、药物治疗：若通过上述方式无法缓解婴儿咳嗽，应及时前往医院治疗，可遵医嘱给婴儿服用止咳药物，如氨溴特罗口服溶液。同时需要及时查明引起咳嗽的原因，如若是过敏性咳嗽，要避免接触易过敏物，并适当服用抗过敏药物或进行雾化吸入，以缓解咳嗽症状。如若是因感染导致三个月婴儿咳嗽，需在医生指导下，酌情服用抗感染药物进行治疗，如阿莫西林、头孢克洛等。
总结提示：三个月婴儿咳嗽时的处理方法，包括非药物治疗的多饮水、拍打后背、改善室内环境，以及药物治疗时的相关药物和针对不同原因咳嗽的应对措施。