刚出生的婴儿呛奶可通过如下方式来处理：一、暂时观察，若呛奶较轻微，仅有吐奶、咳嗽等表现，可先进行观察，通常不会有异常情况；二、一般治疗，当婴儿出现咳嗽、呼吸困难等情况时，可立即用纱布缠在手指上深入其口中刺激喉咙，促使将溢出的奶液清理出来，避免吸气时再次吸入奶汁，同时要及时清理口鼻以保持呼吸道通畅；三、及时就医，如果婴儿呛奶后出现憋气、脸色变紫等现象，表明奶液已进入气管，应立即刺激新生儿脚底板使其哭闹或咳嗽将气管内奶液咳出缓解，而若出现声音变弱的情况，必须及时送医治疗。
总之，对于刚出生婴儿的呛奶情况，要根据具体表现选择合适的处理方式，密切观察，必要时及时送医，以确保婴儿的安全和健康。