5个月宝宝发烧手脚冰凉可能是由流行性感冒、化脓性扁桃体炎、肺结核等疾病导致。
一、流行性感冒：宝宝在生长发育过程中，若不慎受到外界环境中流感病毒等微生物刺激，就可能引发流行性感冒，这会对宝宝健康产生诸多影响。主要表现为发烧、手脚冰凉，同时还伴有咳嗽、流鼻涕、食欲大幅下降、精神状态较差等症状。
二、化脓性扁桃体炎：5个月宝宝出现发烧手脚冰凉，可能是化脓性扁桃体炎发作。此阶段宝宝可能会有咽喉疼痛、反复发烧、经常性咳嗽、咳痰，且吞咽食物时疼痛会加重等表现。
三、肺结核：如果宝宝肺泡组织受到结核分枝杆菌等微生物刺激，会对肺泡造成一定刺激，诱发肺结核。其症状包括突然发烧、手脚冰凉，还会有咳嗽、痰液中出现粉红色泡沫等情况。
总之，当5个月宝宝出现发烧手脚冰凉时，要警惕这些可能的疾病，应及时就医，进行相关检查和诊断，以便明确原因并采取合适的治疗措施。