小孩咳嗽持续一星期未愈，应依据其有无其他症状来判断处理方式。具体如下：
一、持续观察：通常情况下，小孩感冒后咳嗽的痊愈需一定时间。若小孩咳嗽一星期，症状逐渐减轻，且精神状态良好、食欲正常，也无其他不适症状，一般无需过度担忧，可继续观察。日常要适时为小孩增减衣物，多让其喝白开水，及时调节室内干湿度。饮食方面，建议清淡饮食，以补充小孩身体所需。
二、及时就医：当小孩咳嗽一星期仍未好，同时还伴有咳痰、发热、气促等不适症状时，要考虑可能是症状加重了，此时应及时就医。需遵医嘱进行血常规、胸部X线等检查，明确诊断后，遵医嘱给予抗生素、化痰、止咳等药物治疗。常用药物有阿奇霉素、红霉素、盐酸氨溴索口服液、小儿止咳糖浆等，必须严格按照医嘱用药，不可盲目自行用药。同时要让小孩多注意休息、多喝水，避免食用辛辣、油腻、刺激性食物，以免影响感冒恢复。
总之，对于小孩咳嗽一星期未愈的情况，要密切关注其症状变化，根据具体情况选择合适的处理方式，必要时及时就医并规范治疗。