三个月大的婴儿咳嗽，可能由以下原因引起：
1.呼吸道感染：如感冒、喉炎、气管炎等，是婴儿咳嗽最常见的原因。病毒或细菌感染呼吸道后，会引起炎症反应，导致咳嗽。
2.过敏：婴儿对某些物质过敏，如花粉、尘螨、动物毛发等，也可能引起咳嗽。此外，食物过敏也可能导致咳嗽。
3.气道异物：如果婴儿不慎吸入异物，如食物、玩具小零件等，可能导致气道堵塞，引起咳嗽。
4.胃食管反流：三个月大的婴儿胃容量较小，且呈水平位，容易发生胃食管反流，胃酸反流刺激喉部可引起咳嗽。
5.环境因素：如空气干燥、空气污染、烟雾等，也可能刺激婴儿的呼吸道，引起咳嗽。
6.其他：如百日咳、肺结核等疾病，也可能导致婴儿咳嗽。
如果婴儿咳嗽持续时间较长或伴有其他症状，如发热、喘息、呼吸急促等，应及时就医，以便明确病因并进行相应的治疗。同时，家长应保持婴儿房间的空气湿润，避免烟雾等刺激物，注意给婴儿保暖，避免着凉。如果婴儿咳嗽严重，影响睡眠和进食，也可以在医生的指导下使用止咳药物。