三个多月的婴儿咳嗽，可能由以下原因引起：
1.呼吸道感染：如感冒、喉炎、气管炎等，是婴儿咳嗽最常见的原因。病毒或细菌感染可导致呼吸道炎症，刺激咳嗽反射。
2.过敏：婴儿对某些物质过敏，如尘螨、花粉、动物毛发等，可能引起咳嗽。过敏反应还可能伴有打喷嚏、流鼻涕等症状。
3.气道异物：小婴儿可能会将异物吸入气道，导致咳嗽。异物可能是食物、玩具零件等。
4.胃食管反流：胃酸反流到食管和喉部，也可能刺激咳嗽。
5.环境因素：干燥的空气、烟雾、空气污染等环境因素可能刺激婴儿的呼吸道，引起咳嗽。
6.其他原因：如百日咳、肺结核、先天性心脏病等，也可能导致婴儿咳嗽。
如果婴儿咳嗽持续时间较长、频繁，或伴有其他症状，如呼吸急促、喘息、发热等，应及时就医。医生会进行详细的检查，如听诊、血常规等，以确定咳嗽的原因，并给予相应的治疗。
在日常生活中，家长可以采取以下措施来缓解婴儿咳嗽：
1.保持空气湿润：使用加湿器增加空气湿度，有助于减轻咳嗽。
2.拍背：轻轻拍打婴儿的背部，有助于促进痰液排出。
3.多喝水：保持婴儿充足的水分摄入，有助于缓解咳嗽。
4.避免刺激：尽量避免烟雾、灰尘等刺激物，保持室内清洁。
5.就医治疗：按照医生的建议使用药物治疗。
需要注意的是，对于婴儿的咳嗽问题，家长应该密切观察，如果症状加重或持续不缓解，应及时就医。同时，不要自行给婴儿使用药物，尤其是抗生素，应在医生的指导下使用。