五个月宝宝半夜发烧，家长可以采取以下措施：
1.测量体温：使用体温计测量宝宝的体温，确定发烧的程度。如果体温在38.5℃以下，可以先尝试物理降温方法；如果体温超过38.5℃，或者宝宝出现精神萎靡、呼吸急促等异常情况，应及时就医。
2.保持冷静：在宝宝发烧时，家长要保持冷静，不要惊慌失措。采取正确的措施可以帮助宝宝缓解不适，同时也能让自己更加从容地应对。
3.松解衣物：不要给宝宝穿过多的衣服或盖太厚的被子，以免影响散热。可以适当松解衣物，保持宝宝的身体凉爽。
4.多喝水：发烧会导致宝宝体内水分流失，因此要及时给宝宝补充水分。可以让宝宝多喝水，也可以适当饮用一些果汁、盐水等。
5.物理降温：
温水擦浴：用温水浸湿毛巾，拧干后轻轻擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、肘窝、腹股沟等部位，帮助散热。
温水浴：让宝宝在温水中泡浴，时间不宜过长，注意水温不要过低，以免引起宝宝寒战。
使用退热贴：将退热贴贴在宝宝的额头或太阳穴上，也可以起到一定的降温作用。
6.观察病情：密切观察宝宝的病情变化，包括体温、精神状态、呼吸等。如果宝宝的症状持续加重或出现其他异常情况，应及时就医。
7.就医治疗：如果宝宝的体温超过38.5℃，或者出现高热惊厥、呼吸急促、咳嗽等症状，应及时就医。在就医过程中，要注意给宝宝保暖，避免再次着凉。
需要注意的是，宝宝的身体比较娇嫩，发烧可能是多种疾病的表现，因此在采取措施的同时，最好及时就医，以便明确病因，进行针对性治疗。此外，在宝宝发烧期间，要注意保持室内空气流通，给宝宝提供舒适的环境。同时，要注意宝宝的饮食，尽量选择清淡易消化的食物，避免食用辛辣、油腻等刺激性食物。