五个月宝宝发烧咳嗽呕吐，可能是呼吸道感染引起的，需要及时就医，以下是一些处理建议：
1.就医检查：宝宝发烧咳嗽呕吐，可能是呼吸道感染、肺炎、肠胃炎等疾病引起的，需要及时就医，进行血常规、C反应蛋白、胸片、腹部超声等检查，以明确病因。
2.降温处理：如果宝宝体温超过38.5℃，可以使用退烧药，如布洛芬或对乙酰氨基酚，按照说明书的剂量使用。同时，可以采用物理降温的方法，如温水擦浴、贴退热贴等。
3.止咳化痰：如果宝宝咳嗽有痰，可以使用止咳化痰的药物，如氨溴索、氨溴特罗等，按照说明书的剂量使用。同时，可以给宝宝多喝水，以稀释痰液，促进痰液咳出。
4.止吐治疗：如果宝宝呕吐严重，可以使用止吐的药物，如胃复安等，按照说明书的剂量使用。同时，可以给宝宝禁食一段时间，让胃肠道得到休息。
5.饮食调整：宝宝发烧咳嗽呕吐期间，饮食应以清淡、易消化为主，可以给宝宝喝一些米汤、面汤、果汁等，避免食用油腻、辛辣、刺激性的食物。
6.注意观察：宝宝发烧咳嗽呕吐期间，需要密切观察宝宝的精神状态、呼吸情况、体温变化等，如果出现精神萎靡、呼吸急促、高热不退等异常情况，应及时就医。
7.避免交叉感染：宝宝发烧咳嗽呕吐期间，应避免带宝宝去人多的地方，避免交叉感染。同时，要注意保持室内空气流通，勤洗手，保持卫生。
总之，五个月宝宝发烧咳嗽呕吐，需要及时就医，进行相关检查，明确病因，并在医生的指导下进行治疗。同时，要注意宝宝的饮食调整和护理，密切观察宝宝的病情变化，如有异常情况，应及时就医。
以上内容仅供参考，具体治疗方案需要结合宝宝的具体情况，在医生的指导下进行。