五个月宝宝发烧咳嗽呕吐，可能是呼吸道感染引起的，需要及时就医，在医生的指导下进行治疗。以下是一些处理建议：
1.就医检查：宝宝发烧咳嗽呕吐，可能是呼吸道感染、肺炎、胃肠型感冒等疾病引起的。需要及时就医，进行血常规、C反应蛋白、胸片等检查，以明确病因。
2.退烧治疗：如果宝宝体温超过38.5℃，可以服用退烧药，如布洛芬或对乙酰氨基酚。同时，可以采用物理降温的方法，如温水擦浴、贴退热贴等。
3.止咳治疗：如果宝宝咳嗽严重，可以服用止咳药，如氨溴索、氨溴特罗等。同时，可以采用雾化吸入的方法，缓解咳嗽症状。
4.止吐治疗：如果宝宝呕吐严重，可以服用止吐药，如多潘立酮、甲氧氯普胺等。同时，可以禁食一段时间，让胃肠道得到休息。
5.补充水分：宝宝发烧咳嗽呕吐会导致体内水分流失，需要及时补充水分。可以给宝宝多喝水，也可以服用口服补液盐，以维持水电解质平衡。
6.注意观察：在宝宝治疗期间，需要注意观察宝宝的病情变化。如果宝宝出现高热不退、呼吸急促、精神萎靡等症状，需要及时就医。
此外，对于五个月的宝宝，在处理发烧咳嗽呕吐问题时，需要特别注意以下几点：
1.不要自行给宝宝使用抗生素：抗生素不能治疗病毒感染，只有在明确是细菌感染的情况下，才需要使用抗生素。
2.不要给宝宝使用成人药物：宝宝的身体器官发育尚未成熟，对药物的代谢和耐受性与成人不同。使用成人药物可能会导致不良反应。
3.注意药物的剂量：宝宝的体重和年龄较小，对药物的剂量非常敏感。需要按照医生的建议，准确计算药物的剂量，不要自行增减药物的剂量。
4.保持宝宝的呼吸道通畅：宝宝咳嗽时，需要及时清理呼吸道分泌物，保持呼吸道通畅。可以让宝宝侧身睡觉，轻轻拍打背部，帮助咳出痰液。
5.注意宝宝的饮食：宝宝发烧咳嗽呕吐期间，饮食以清淡、易消化的食物为主，如米汤、面条、米糊等。避免食用油腻、辛辣、刺激性食物。
总之，五个月宝宝发烧咳嗽呕吐，需要及时就医，在医生的指导下进行治疗。同时，需要注意宝宝的护理，保持呼吸道通畅，注意饮食，及时补充水分。