五个月宝宝鼻塞咳嗽，可采取以下方法处理：
1.清理鼻腔：使用生理性海盐水滴鼻或喷鼻，软化或稀释鼻腔分泌物，然后使用吸鼻器吸出分泌物，以缓解鼻塞。但要注意，不要过度清理鼻腔，以免损伤鼻粘膜。
2.调整环境：保持室内空气湿润，适当提高室内温度和湿度，有助于缓解宝宝的鼻塞和咳嗽。同时，要避免宝宝接触过敏原，如尘螨、花粉、动物毛发等。
3.拍背排痰：让宝宝侧卧或抱起侧卧，家长五指微曲成半环状，即空心拳，然后轻轻拍打宝宝的前胸及侧胸背部，两侧交替进行，拍背力量不宜过大，由上而下，从外向内，依次进行。每日拍2-3次，每次拍3-5分钟。拍背排痰可以帮助宝宝排出呼吸道分泌物，减轻咳嗽症状。
4.多喝水：多喝水可以湿润呼吸道，促进痰液排出。如果宝宝不愿意喝白开水，可以适当添加一些果汁或蔬菜汁。
5.药物治疗：如果宝宝鼻塞咳嗽症状严重，影响睡眠和进食，可以在医生的指导下使用药物治疗。常用的药物有氨溴索、氨溴特罗等化痰药物，以及伪麻黄碱、氯苯那敏等减轻鼻塞的药物。但要注意药物的剂量和使用方法，避免滥用药物。
需要注意的是，如果宝宝鼻塞咳嗽症状持续不缓解或加重，应及时就医，以免延误病情。同时，在宝宝患病期间，要注意保持宝宝的个人卫生，勤洗手，避免交叉感染。