九个月宝宝发烧37.7°C，属于低烧，可以先采用物理降温的方法，同时密切观察宝宝的状态，必要时及时就医。以下是一些建议：
1.观察宝宝的状态：除了发烧，还要注意观察宝宝是否有其他症状，如咳嗽、流鼻涕、腹泻、呕吐等。如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，可先在家观察。
2.物理降温：用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、肘窝、腹股沟等部位，或者给宝宝洗温水澡。注意不要用酒精擦拭，以免宝宝过敏。
3.适当减少衣物：不要给宝宝穿太多衣服，以免影响散热。
4.保持室内空气流通：室内温度应保持在25°C-27°C，湿度在50%-60%之间。
5.多喝水：发烧会导致宝宝体内水分流失，要及时给宝宝补充水分，以免脱水。
6.饮食清淡：宝宝发烧时，消化功能会下降，饮食应清淡易消化，如米汤、米糊、面条等。
如果宝宝出现以下情况，应及时就医：
1.体温持续升高，超过38.5°C。
2.宝宝出现精神萎靡、嗜睡、哭闹不止等异常表现。
3.宝宝出现呼吸急促、呼吸困难等症状。
4.宝宝出现抽搐、惊厥等症状。
5.宝宝发烧超过3天。
需要注意的是，每个宝宝的情况都不同，如果对宝宝的病情有任何疑问，应及时咨询医生。同时，在宝宝发烧期间，要注意保持宝宝的个人卫生，勤洗手，避免交叉感染。