宝宝手指被门夹伤后发紫肿胀，家长可以采取以下措施：
1.冷敷：在受伤后的24-48小时内，用冰袋或冷毛巾敷在受伤的手指上，每次15-20分钟，每天3-4次。冷敷可以收缩血管，减少出血和肿胀。
2.抬高受伤的手指：将受伤的手指抬高，高于心脏水平，以促进血液回流，减轻肿胀。
3.观察手指的感觉和运动：注意观察宝宝手指的感觉是否正常，如有无麻木、疼痛加剧等。同时，观察手指的运动是否受限，如无法弯曲或伸直。
4.避免受伤的手指活动：在受伤后的几天内，尽量避免受伤的手指活动，以免加重损伤。
5.如肿胀和疼痛加剧或出现其他异常，及时就医：如果宝宝的手指发紫肿胀持续加重，或者出现疼痛加剧、手指活动受限、手指发凉、苍白等异常情况，应及时就医，进行进一步的检查和治疗。
需要注意的是，如果宝宝的手指被门夹伤非常严重，如出现开放性伤口、手指骨折等情况，应立即就医，进行清创、缝合或固定等治疗。同时，在处理宝宝手指受伤时，要注意保持冷静，不要惊慌失措，以免给宝宝带来不必要的惊吓和伤害。