手指甲旁边肿了而且有脓，可能是由以下原因引起的：
1.感染：甲沟及其附近组织刺伤、擦伤、嵌甲或拔“倒皮刺”后造成感染。
2.损伤：撕扯指甲旁倒刺、咬甲或手指长期浸水和摩擦等，导致甲沟损伤，细菌感染引起炎症。
3.其他：糖尿病、营养不良、免疫力低下等也可导致甲沟及其附近组织感染。
治疗方法如下：
1.一般治疗：在医生的指导下，使用过氧化氢溶液、聚维酮碘溶液等药物清洗伤口，然后使用莫匹罗星软膏、夫西地酸乳膏等药物进行抗感染治疗。
2.切开引流：如果脓肿已经形成，需要在甲沟处做纵行切开引流。
3.拔甲：如果感染严重，指甲下积脓，需要在甲沟处纵行切开减压，将指甲拔出。
需要注意的是，以上治疗方法仅供参考，具体治疗方法需要根据个人情况在医生的指导下选择。同时，在治疗期间，要保持伤口清洁，避免沾水，避免食用辛辣刺激性食物。如果症状加重或出现发热等全身症状，需要及时就医。