8个月宝宝发烧37.7℃的处理方法包括一般治疗和药物治疗。
一、一般治疗：
1.家长要及时给宝宝适当增减衣物，选择柔软吸汗的衣服，这样既有助于散热，又有利于排汗，从而帮助降低体温。
2.要多给宝宝补充水分，也可以用温热毛巾擦拭宝宝身体，能促进降温。
3.保持室内空气畅通，温度适宜也很重要。
4.饮食方面，要以清淡易消化为主，并且采取少食多餐的喂养方式。
二、药物治疗：
1.若一般治疗后仍未退烧，且体温持续上升超过38.5℃，建议在医生指导下使用药物来退烧，比如布洛芬混悬液等。
2.如果是细菌感染引起的发烧，可以口服阿莫西林等药物进行治疗。
3.如果是病毒感染引起的发烧，可口服抗病毒口服液。
总之，对于8个月宝宝发烧37.7℃的情况，要根据具体情况选择合适的处理方法，密切关注宝宝体温变化和身体状况，必要时及时就医。