十一个月宝宝睡觉咳嗽厉害可能由支气管炎、肺炎、感冒等引起。具体如下：
一、支气管炎：多因细菌或病毒感染。这会使宝宝睡觉咳嗽剧烈，可应用阿莫西林、头孢、左氧氟沙星等药物来缓解，这些药物具备消炎抗病毒及止咳等作用。但用药需在医生指导下进行。
1.阿莫西林：是一种抗生素，能有效对抗细菌感染。
2.头孢：有不同的种类，对多种细菌有抑制和杀灭作用。
3.左氧氟沙星：可用于对抗特定细菌感染。
二、肺炎：可能由细菌或病毒感染等引发。同样会导致宝宝睡觉咳嗽厉害，可使用头孢、青霉素、阿莫西林等药物，有止咳和消毒杀菌的效果，能帮助缓解咳嗽厉害的症状，且用药时要遵医嘱。
1.头孢：能发挥抗菌作用。
2.青霉素：对敏感菌有较好疗效。
3.阿莫西林：可抑制细菌。
三、感冒：常因受凉等导致，宝宝会有咳嗽、发热等表现，可使用布洛芬、青霉素、头孢等药物进行缓解治疗，用药需在医生指导下进行，同时要注意做好保暖。
总之，十一个月宝宝睡觉咳嗽厉害应尽快前往医院检查，明确病因以免延误治疗，且使用药物时必须在医生指导下进行。