孩子眼睛周围有出血点可能是由多种原因引起，包括过敏、毛细血管破裂、血管内压力增多性紫癜等。
一、过敏：
孩子若处于过敏状态，比如食用了辛辣食物、海鲜，或是接触了其他过敏原等，可能导致眼睛周围皮肤出现众多小血点。
二、毛细血管破裂：
1.宝宝如果经常大哭或是有严重咳嗽情况，会使眼睛周围皮肤变得紧张，产生较大压力，从而致使局部毛细血管破裂，引起皮肤上出现许多红色小血点。
三、血管内压力增多性紫癜：
血管内压力增多性紫癜是由于静脉回流受阻、缺氧等引发血管破裂形成众多血点，这种情况多见于脸部、脖子、胸口等组织较为疏松的部位。
孩子眼睛周围有出血点的注意事项如下：
一、不要让孩子进食过多刺激性过强的食物，也不要让孩子接触过敏原。
二、要安抚好孩子的情绪，尽可能避免孩子经常哭闹。
总之，当发现孩子眼睛周围有出血点时，要注意观察孩子的具体情况，分析可能的原因，并采取相应的措施，必要时应及时就医检查和诊断。