孩子眼睛周围有小红点，可能是以下原因引起：
1.血管因素：
血管瘤：一种先天性良性肿瘤或血管畸形，多在出生时或出生后不久出现，好发于颜面及颈部，皮肤损害为鲜红色或紫红色斑块，与皮肤表面平齐或稍隆起，边界清楚，形状不规则，大小不等。压迫瘤体时颜色可退去。如果瘤体较大，可影响眼部功能。
血管痣：是婴儿最常见的良性肿瘤，是由胚胎期血管网增生所形成。血管痣可发生于身体的任何部位，以皮肤和皮下组织最为多见。通常表现为一个或数个暗红色或青红色斑片，大小不一，不高出皮面，压之褪色，形状不规则，多发生于头、面、颈部，也可发生于四肢和背部。一般在1-2岁内逐渐自行消退。
毛细血管扩张：是指皮肤或黏膜表面的这些血管呈丝状、星状或蛛网状改变。为鲜红色，玻璃片压迫后不退色，单发或多发，缓慢发展，或发生后无明显增大，可限于某部位，也可范围较广泛，既可以是局部的改变，也可以是某些疾病的特殊表现形式。
2.过敏：
药物过敏：某些药物可能引起过敏反应，导致眼睛周围出现小红点。常见的致敏药物包括抗生素、解热镇痛药、抗癫痫药等。
食物过敏：食用某些食物后，也可能出现过敏反应，如海鲜、芒果、鸡蛋等。
环境过敏：空气中的花粉、尘螨、动物毛发等过敏原也可能引起过敏反应，导致眼睛周围出现小红点。
3.感染：
病毒感染：如手足口病、麻疹、风疹等，病毒感染后可出现皮疹，通常先出现于手掌、足底、口腔等部位，然后逐渐蔓延至全身，包括眼睛周围。
细菌感染：如脓疱疮，可在皮肤表面出现脓疱，周围有红晕，严重时可累及眼睛周围。
其他感染：如猩红热、水痘等，也可出现皮疹，但通常伴有其他症状，如发热、咽痛等。
4.其他原因：
血小板减少性紫癜：血小板减少可导致凝血功能障碍，出现皮肤和黏膜出血点，包括眼睛周围。
系统性红斑狼疮：自身免疫性疾病，可累及全身多个系统和脏器，皮肤和黏膜可出现红斑、丘疹等损害，眼睛周围也可受累。
川崎病：好发于5岁以下儿童，可出现发热、皮疹、颈部淋巴结肿大等症状，皮疹可分布于全身，但以手足、臀部多见，也可累及眼睛周围。
如果孩子眼睛周围的小红点持续不消失或逐渐增多，或伴有其他症状，如发热、咳嗽、呕吐、腹泻等，应及时就医，明确病因，并在医生的指导下进行治疗。同时，要注意保持孩子眼部清洁，避免搔抓皮肤，以免引起感染。