四十多天的宝宝咳嗽的治疗方式通常包括药物治疗和日常护理。具体如下：
一、药物治疗：
1.雾化吸入：因宝宝年龄小，可采用此方式，将药物经仪器雾化后让宝宝吸入呼吸道内，能缓解咳嗽症状，常用药物如硫酸沙丁胺醇雾化吸入溶液、硫酸特布他林雾化液等。
2.口服化痰止咳药：若雾化效果不明显，可在医生指导下给宝宝服用小儿化痰止咳颗粒、小儿清热止咳口服液等药物来治疗，能较快缓解咳嗽情况。
二、日常护理：
1.补充水分：可以给宝宝少量多次喝温水，补充足够水分，以缓解咳嗽症状。
2.拍背助咳痰：当宝宝咳嗽时，用手轻拍宝宝背部，使其咳出粘附在气管上的分泌物，从而缓解咳嗽。
总之，对于四十多天宝宝的咳嗽，需要综合运用药物治疗和日常护理的方法来改善症状，同时要密切关注宝宝情况，若咳嗽持续不缓解或出现其他异常，应及时就医。