40天大的婴儿咳嗽，建议及时就医，在医生的指导下进行治疗，不建议自行用药。以下是一些可能的原因和治疗方法：
1.呼吸道感染：这是婴儿咳嗽最常见的原因之一。如果婴儿的咳嗽伴随着鼻塞、流涕、呼吸急促等症状，可能是呼吸道感染引起的。医生可能会根据病情给予抗生素或抗病毒药物治疗。
2.过敏：如果婴儿有过敏史，咳嗽可能是过敏引起的。医生可能会建议使用抗过敏药物或避免过敏原。
3.呛咳：如果婴儿吃奶或喝水时呛咳，也可能会引起咳嗽。这种情况下，需要注意喂奶或喂水的姿势，避免呛咳。
4.其他原因：如先天性心脏病、气管食管瘘等，也可能导致婴儿咳嗽。
需要注意的是，不同原因引起的咳嗽需要不同的治疗方法。在给婴儿用药之前，一定要先咨询医生的意见，按照医生的建议使用药物。同时，要注意给婴儿保暖，保持室内空气湿润，避免烟雾等刺激。如果婴儿的咳嗽持续时间较长或伴有其他症状，如发热、呼吸急促等，应及时就医。