两个月宝宝咳嗽的处理方式通常包括日常护理和药物治疗。具体如下：
一、日常护理：
1.若两个月宝宝只是偶尔咳嗽，且无其他不适症状，日常护理是主要方式。家属可轻轻拍打宝宝后背，这样有助于痰液松动排出；适量给宝宝喝温水，能一定程度缓解不适。
2.家属要根据实际情况为宝宝增减衣物，同时要保证宝宝所处空间通风良好且清洁卫生。
二、药物治疗：
引起两个月宝宝咳嗽的原因较多，建议家属及时带宝宝前往医院明确诊断后，在医生指导下进行对症治疗。
1.如果是感冒引起的，家属可在医生指导下给宝宝应用小儿氨酚黄那敏颗粒、盐酸氨溴索糖浆等药物。小儿氨酚黄那敏颗粒可缓解感冒引起的相关症状；盐酸氨溴索糖浆能促进痰液排出。
2.若是过敏引起的，家属可在医生指导下给宝宝应用氯雷他定糖浆、马来酸氯苯那敏片等药物。氯雷他定糖浆具有抗组胺作用；马来酸氯苯那敏片可减轻过敏反应。
总之，当两个月宝宝出现咳嗽时，要根据具体情况选择合适的处理方式，必要时应就医并遵医嘱治疗。