五个月婴儿咳嗽的处理方法包括：生活护理、服用药物、雾化治疗。
一、生活护理：五个月婴儿咳嗽若不算特别严重，此时家长可适当给婴儿喂水，这有助于减轻咳嗽症状。若处于母乳期间，母亲务必注意饮食保持清淡，避免进食辛辣、刺激性食物。
二、服用药物：五个月婴儿咳嗽可能是因感冒引起，且容易伴有咳痰、鼻塞等表现。家长可在医生指导下让婴儿服用小儿化痰止咳颗粒、小儿咳嗽糖浆等药物进行医治。
三、雾化：若五个月婴儿无法口服药物，可考虑进行雾化治疗。雾化是借助雾化装置将药物分散成微小雾粒，经呼吸道进入肺部后能迅速发挥作用，可使气道变得湿润，从而能够缓解咳嗽、咳痰等症状。
总之，对于五个月婴儿咳嗽，需要根据具体情况选择合适的处理方法，同时要密切观察婴儿的症状变化，如有异常应及时就医。