5个月大的孩子咳嗽有痰，可能是由呼吸道感染、过敏等原因引起的。以下是一些建议：
1.观察孩子的症状：注意孩子咳嗽的频率、程度、是否有喘息、呼吸急促等情况。同时，观察孩子的精神状态、食欲、睡眠等情况。
2.保持室内空气湿润：可以使用加湿器增加室内空气湿度，有助于缓解孩子的咳嗽和咳痰。
3.拍背排痰：让孩子侧卧或抱起侧卧，家长五指微曲成半环状，即空心拳，然后轻轻拍打孩子的背部，由下往上，由外向内，依次进行。拍背可以促进孩子肺部和支气管内的痰液松动，易于咳出。
4.补充水分：适量给孩子喂水，有助于稀释痰液，使痰液更容易咳出。
5.就医：如果孩子咳嗽有痰的症状持续时间较长、加重、出现发热、呼吸急促等异常情况，应及时就医。医生会根据孩子的具体情况进行诊断，并给予相应的治疗，如药物治疗、雾化治疗等。
在就医过程中，医生可能会进行以下检查和治疗：
1.体格检查：医生会检查孩子的体温、呼吸、心率、肺部听诊等，以了解孩子的整体健康状况。
2.实验室检查：如血常规、C反应蛋白等，以帮助判断是否存在感染。
3.影像学检查：如胸部X光或CT检查，以了解孩子肺部的情况。
4.治疗：根据孩子的病情，医生可能会开具止咳化痰药物、抗生素（如果存在感染）、雾化治疗等。
需要注意的是，在给孩子使用药物治疗时，应严格按照医生的建议使用，不要自行增减剂量或停药。同时，要注意药物的不良反应，如果孩子出现不适症状，应及时就医。
此外，对于5个月大的孩子，家长还应注意以下几点：
1.避免接触过敏原：如果孩子咳嗽有痰与过敏有关，应尽量避免孩子接触过敏原，如花粉、尘螨、宠物毛发等。
2.注意孩子的饮食：母乳喂养的孩子，母亲应注意饮食清淡，避免食用辛辣、油腻、刺激性食物。添加辅食的孩子，应逐渐增加辅食的种类和数量，避免食用过甜、过咸的食物。
3.注意孩子的保暖：根据天气变化，及时给孩子增减衣物，避免着凉。
4.避免交叉感染：在孩子咳嗽有痰期间，应尽量避免带孩子去人员密集的场所，避免交叉感染。
5.做好家庭护理：保持孩子的口腔清洁，及时清理口腔内的分泌物。定期给孩子翻身、拍背，有助于痰液的排出。
总之，5个月大的孩子咳嗽有痰时，家长应密切观察孩子的症状，保持室内空气湿润，给孩子适当补充水分，并及时就医。同时，要注意做好家庭护理，避免孩子接触过敏原，注意孩子的保暖，避免交叉感染。