宝宝体温37.7°C时，可以采取以下家庭护理措施：
1.减少衣物：如果宝宝穿得过多或盖得太厚，可能会导致体温升高。适当减少衣物，让宝宝感到凉爽舒适。
2.多喝水：多喝水有助于补充身体水分，促进新陈代谢，帮助宝宝降温。
3.温水擦拭：用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、腹股沟等部位，帮助散热。
4.注意观察：密切观察宝宝的体温变化、精神状态、饮食情况等，如有异常，及时就医。
需要注意的是，如果宝宝体温持续升高或出现其他不适症状，如咳嗽、呼吸急促、腹泻等，应及时就医，以便明确病因，并进行相应的治疗。此外，不建议家长自行给宝宝使用退烧药，尤其是在没有医生指导的情况下。因为退烧药可能会掩盖病情，影响医生的诊断和治疗。
在就医过程中，医生可能会根据宝宝的具体情况进行进一步的检查和诊断，并制定相应的治疗方案。常见的检查包括血常规、尿常规、C反应蛋白等，以确定病因。治疗方法可能包括药物治疗、物理降温、静脉补液等。
对于家长来说，在宝宝生病期间，要注意保持宝宝的居住环境清洁、通风，定期消毒，避免带宝宝去人员密集的场所，注意宝宝的个人卫生，勤洗手，避免交叉感染。同时，要注意给宝宝提供营养丰富、易消化的食物，保证宝宝的睡眠充足，有助于宝宝的恢复。