宝宝吃枣把枣核吞下去了，一般情况下，枣核会随粪便排出体外，家长可以先观察宝宝的情况，然后采取以下措施：
1.观察宝宝的呼吸、吞咽和哭闹情况，看是否有呼吸困难、呛咳、哭闹不止等异常表现。如果有，可能是枣核卡在了气管里，需要立即就医。
2.给宝宝多吃一些富含膳食纤维的食物，如蔬菜、水果、全麦面包等，以促进肠道蠕动，帮助枣核排出体外。
3.让宝宝多喝水，保持肠道湿润，有利于枣核排出。
4.可以轻轻按摩宝宝的腹部，帮助肠道蠕动。
5.家长要密切观察宝宝的粪便，看是否有枣核排出。如果宝宝超过3天没有排便，或者出现腹痛、呕吐等症状，也需要及时就医。
需要注意的是，如果宝宝年龄较小，或者枣核较大、较尖锐，可能会造成肠道损伤，甚至引起肠梗阻等并发症。因此，如果家长无法判断宝宝的情况，或者宝宝出现了异常表现，应及时就医，进行进一步的检查和治疗。