三个月的宝宝咳嗽，可能是普通感冒、呼吸道感染、过敏等原因引起的。可以通过以下方式进行处理，建议及时就医：
1.保持空气湿润：可以使用加湿器增加空气湿度，缓解宝宝咳嗽。
2.拍背：让宝宝侧卧，家长五指微曲成半环状，即空心拳，然后轻轻拍打宝宝的背部，顺序为从肺底部到肺顶部，再从肺顶部到肺底部，左右两边交替进行，重复拍打3-5分钟，每天拍打2-3次。
3.调整饮食：如果是母乳喂养，妈妈应注意饮食清淡，避免食用辛辣、油腻、刺激性食物。如果是人工喂养，可以适当减少奶量，增加水分摄入。
4.药物治疗：如果宝宝咳嗽严重，影响睡眠和饮食，需要在医生的指导下使用止咳药物。
在治疗期间，需要注意保持宝宝的呼吸道通畅，避免接触过敏原，如花粉、尘螨等。同时，要注意观察宝宝的病情变化，如果出现呼吸急促、喘息、发热等症状，应及时就医。宝宝可适当食用梨、枇杷等食物，避免食用过甜、过咸的食物，如糖果、腌制食品等。