孩子发烧时手脚发热，可能是由以下原因引起的：
1.体温上升期：在发烧的体温上升期，孩子可能会出现手脚发凉，而躯干、手心、脚心比较热的情况。这是由于发烧时四肢小血管处于痉挛性收缩状态，导致手脚发凉。当体温持续升高后，孩子可能会出现皮肤潮红、呼吸加快、心跳加快等表现，此时手脚的温度也会逐渐升高。
2.感染：感染是导致孩子发烧最常见的原因，如病毒、细菌、支原体等感染。不同病原体感染引起的发烧，其特点也有所不同。例如，病毒感染引起的发烧，通常会伴有咳嗽、流涕、咽痛等上呼吸道感染症状；细菌感染引起的发烧，可能会伴有咳嗽、咳痰、腹痛、腹泻等症状。
3.免疫系统疾病：某些免疫系统疾病也可能导致孩子发烧，如幼年特发性关节炎、系统性红斑狼疮等。这些疾病除了发烧外，还可能伴有其他症状，如皮疹、关节疼痛、口腔溃疡等。
4.恶性肿瘤：某些恶性肿瘤也可能导致孩子发烧，如白血病、淋巴瘤等。这些疾病除了发烧外，还可能伴有其他症状，如贫血、出血、淋巴结肿大等。
5.其他原因：除了上述原因外，孩子发烧还可能与药物过敏、疫苗接种、环境温度过高等因素有关。
如果孩子发烧，家长可以采取以下措施：
1.测量体温：使用体温计测量孩子的体温，了解孩子的体温变化情况。
2.观察孩子的精神状态：如果孩子的精神状态良好，饮食、睡眠正常，可以在家观察。如果孩子的精神状态差，或出现高热惊厥等情况，应及时就医。
3.给孩子多喝水：发烧会导致孩子体内水分流失，多喝水可以补充水分，防止脱水。
4.注意孩子的穿着：不要给孩子穿过多的衣服，以免影响散热。
5.按照医生的建议使用退烧药：如果孩子的体温超过38.5℃，可以在医生的指导下使用退烧药，如布洛芬、对乙酰氨基酚等。
总之，如果孩子发烧，家长应密切观察孩子的病情变化，如果出现异常情况，应及时就医。同时，家长应注意给孩子多喝水，保持室内空气流通，注意孩子的个人卫生，避免交叉感染。