眼睛周围出现红点，通常可能是由紫癜、血管瘤、过敏等原因所致。
一、紫癜：紫癜指的是因血管内压增高使得微血管破裂从而引起皮下出血。剧烈咳嗽、呕吐、便秘等情况容易诱发紫癜。其主要表现为针尖大小且群聚或散在的瘀点或瘀斑，所以眼睛周围出现红点可能是紫癜导致的。
二、血管瘤：这是临床上较为常见的血管肿瘤性疾病，多与胚胎发育时期血管异常增生有关。主要表现为皮肤颜色和形态的改变以及皮肤隆起等，这也可能造成眼睛周围出现红点。
三、过敏：过敏即人体接触某些物质后发生的过度免疫反应。当人体皮肤接触过敏原时，可能引发过敏反应，一般会有皮肤红肿、丘疹、瘙痒等表现，进而可能致使眼睛周围出现红点。
总之，当发现眼睛周围出现红点时，要考虑可能是上述这些原因引起的，需及时就医进行明确诊断和相应处理。