眼睛周围出现红点可能由多种原因导致，比如紫癜、血管瘤、过敏等。
一、紫癜：紫癜通常指由于血管内压增高使得微血管破裂，从而引起皮下出血。一些因素如剧烈咳嗽、呕吐、便秘等容易诱发紫癜。其主要表现为针尖大小且群聚或散在的瘀点或瘀斑，所以眼睛周围出现红点可能是紫癜引起的。
二、血管瘤：血管瘤属于临床上常见的血管肿瘤性疾病，多数和胚胎发育时期血管异常增生有关。主要体现为皮肤颜色和形态的改变以及皮肤隆起等，这可能导致眼睛周围出现红点。
三、过敏：过敏指的是人体接触某些物质后发生的过度免疫反应。当人体皮肤接触过敏原时，可能引发过敏反应，一般表现为皮肤红肿、丘疹、瘙痒等，这也有可能造成眼睛周围出现红点。
总之，当发现眼睛周围出现红点时，需要综合多方面因素来判断具体原因，必要时应及时就医进行明确诊断和相应治疗。